Mình xin chia sẻ lời giải bài này như sau:

Do \(c=2\) nên ta có:
Ta có: \(\left\{\begin{matrix}g(n+1)=4*g(n)+f(n+1)+2 \\ f(n+2)=3*f(n+1)+2*f(n)\end{matrix}\right.\)

Từ đây ta suy ra được: \(\begin{pmatrix}g(n)&f(n+1)&f(n)&1\end{pmatrix}.\begin{pmatrix}4&0&0&0 \\ 1&3&1&0 \\0&2&0&0 \\2&0&0&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}g(n+1)&f(n+2)&f(n+1)&1\end{pmatrix}\)

Đặt \(p_n=\begin{pmatrix}g(n)&f(n+1)&f(n)&1\end{pmatrix}\) và \(M=\begin{pmatrix}4&0&0&0 \\ 1&3&1&0 \\0&2&0&0 \\2&0&0&1\end{pmatrix}\).

Ta được: \(p_{n}=p_{n-1}.M=p_{n-2}.M^2=...=p_0.M^{n}\), với \(p_0=\begin{pmatrix}1&1&1&1\end{pmatrix}\)

Đến đây sử dụng luỹ thừa nhị phân trên ma trận và phép nhân ma trận, ta đã giải quyết xong bài toán, các bạn có thể tham khảo code tại đây

Ps: Nếu có gì thắc mắc, các bạn cứ comment.